Hola. Benvinguts a aquest capítol sobre la naturalesa del so
i la propagació de les ones.
El propòsit d’aquest vídeo és mostrar-vos
de la forma més directa i propera possible
tota una sèrie de fenòmens,
que la ciència explica i mesura de moltes maneres,
però que pels nostres propòsits per comprendre aquests fenòmens,
per la seva aplicació a l’art sonor
creiem que és interessant que veieu que els podem manipular
i que hi podem accedir d’una forma directa.
Ens convé conèixer la naturalesa dels fenòmens acústics com a tal,
en tant que fenomen de propagació mecànica d’ones.
És a dir, el so té moltes dimensions. Ho estem veient
en moltes manifestacions artístiques. El so com a tal, evidentment,
també convé no perdre de vista que és un fenomen perceptiu.
Això és, ens convindrà fer-nos càrrec de quines són les dimensions
i la forma de propagar-se d’aquestes ones
en uns medis determinats i com això després ho percebem,
quina és la impressió que ens causa com a oients.
De manera que en aquest vídeo sobretot ens centrarem
en aquesta naturalesa física del so.
Convé tenir present que el so és una ona
que es propaga a través de medis elàstics.
Quan parlem de medis elàstics, no ens referim només
al que entendríem col·loquialment per quelcom elàstic,
una goma o uns plàstics, etc, sinó entenem que tant líquids,
sòlids, com gasos tenen una elasticitat relativa.
I el so és una ona que es propaga a través de les molècules
d’aquests medis.
És a dir, el so necessita un medi per viatjar.
No parlem d’ones electromagnètiques com la de la llum,
que poden passar a través del buit, sinó que el que estem veient
i el que hem d’entendre és que el so és una pertorbació
d’aquest mateix medi. Hi ha una transmissió
d’energia a través d’un medi que s’excita, s’altera
i es fa vibrar.
I això pot passar tant en un sòlid, en un líquid, com en en un gas.
És molt important també tenir present que la propagació d’aquestes ones
no implica un desplaçament de matèria.
És a dir, les molècules –ho veurem en repetits exemples–
es transfereixen una oscil·lació, però retornen al punt inicial
en què estaven. És a dir, no estem projectant
unes entitats, unes molècules d’una punta a l’altra d’una sala.
Ara estic parlant i els micròfons capten el so de la meva veu.
No projecto com si tiréssim un raig làser
des d’una font a un receptor, sinó que és un moviment concatenat
i cada molècula té un impacte en la següent molècula
i així successivament.
És important saber que hi ha una transmissió
d’informació, però no un desplaçament de la matèria.
Per això, farem servir una molla elàstica per començar a veure
com es transfereix aquesta energia a través d’aquests medis elàstics.
Farem servir aquesta molla com a metàfora visual o analogia
de qualsevol medi elàstic, sigui un sòlid, un líquid o un gas.
Cadascuna de les voltes d’aquesta molla
podríem entendre-la com una molècula en qualsevol d’aquests medis.
Fixem-nos que si desplacem
les molècules, si les compactem,
en una zona, a l’altra es descomprimeix.
Per tant, hem d’entendre el so com aquests canvis en la pressió
d’un medi particular.
Si acumulem pressió en un espai i en perdem en un altre,
després tots els medis tendeixen a recuperar la posició inicial
en què estaven. Per això diem que no hi ha
un desplaçament de la matèria. Hi ha una oscil·lació.
És a dir, hi ha un cert moviment d’anada i tornada
fins a recuperar el punt de repòs.
És així que podem enviar un senyal longitudinal,
és a dir, d’un extrem a l’altre de la molla.
Tenim aquest pols
i es transfereix aquesta energia, arriba el senyal a l'extrem
d’aquest medi –és una molla elàstica, pèro podria ser,
com veurem, una columna d’aire, una corda, qualsevol sòlid–,
l’energia arriba a un extrem i retorna cap a l’altre.
Fixem-nos, doncs, que al final de la propagació de l’ona
cadascuna de les molècules han acabat al punt inicial.
És interessant adonar-nos que aquestes transmissions d’energia
i aquestes oscil·lacions es poden produir
en diferents direccions.
És a dir, malgrat que jo pugui enviar un senyal d’aquí a aquell extrem,
ho podem fer de manera longitudinal. És a dir, la compressió i dilatació
de les molècules té lloc en el mateix sentit
que la direcció que recorrerà, però si donem un impuls
en sentit perpendicular, transversal, l’energia també anirà
a una banda del medi.
Ara veiem un impuls longitudinal inicialment
i ara veurem un impuls transversal.
És a dir, aquesta pertorbació en aquest sentit
també aconsegueix arribar a l’altre extrem del medi i retornar.
En aquest cas,
aquesta molla tendeix a ocupar aquest eix.
Ja veurem com, en funció de les geometries,
les ones poden ser longitudinals, transversals,
obliqües, torsionals, etc.
És a dir, la forma, les dimensions dels medis amb què ens trobem
poden oscil·lar en diferents direccions
i, a més, de forma simultània.
Aquestes ones que es propaguen a través dels medis
i que ens arriben a les membranes dels nostres timpans
i ens produeixen la sensació auditiva
tenen determinades dimensions. Hi ha paràmetres d’aquesta ona
que podem mesurar.
I el que ens convé de cara a anar comprenent
aquesta naturalesa del so és veure quina correlació hi ha
entre les dimensions d’aquestes ones i la percepció que en tenim.
Estem prou acostumats a veure representacions d’ones,
per exemple en els sismògrafs, i evidentment en els oscil·loscopis.
Avui en dia, al segle XXI, estem molt habituats a veure això.
Convé que veiem aquesta correlació. És a dir,
quan sacsejem un medi, quan hi ha una oscil·lació
que es propaga a través d’un medi,
aquesta oscil·lació, aquest moviment de les molècules,
pot cobrir una amplitud, una distància determinada.
Aquesta amplitud del moviment de les molècules
és el que es tradueix en la nostra percepció
com la sensació d'intensitat.
De fet, parlem de volum.
És a dir, aquesta dimensió de l’ona, que solem veure en els gràfics
–l’altura de les ones–, és el que ens produeix la sensació
de fort o fluix. Tenim un eix polar
des d'oscil·lacions en què les molècules
es mouen molt poc i percebem aquests sons com a fluixos,
fins a grans oscil·lacions, oscil·lacions de gran amplitud,
en què percebem el so com a molt fort.
Així doncs, la primera dimensió del so,
la de l’amplitud, es mou en un únic eix polar
de fluix a fort.
Les oscil·lacions, a més, tenen una determinada duració.
Quan parlem d’una oscil·lació, sabem que hi ha unes molècules
que s’han desplaçat del seu punt inicial
fins a un altre lloc
i després –pel que ens explica Newton de la mecànica general–
tot desplaçament, tot impuls,
tota força genera un contramoviment
equivalent en el sentit oposat.
Aquest anar i venir ha de produir-se diverses vegades.
Un únic moviment no es pot considerar una oscil·lació.
Així és que la majoria de medis que sonen
–i si sonen és que són elàstics, que s’estan movent–
constitueixen un so pel fet que tenen una certa duració.
Un únic moviment no el podem considerar com a so.
Fins i tot en el so més curt,
en què no tenim una constància que aquest “clec” duri molt,
els ossos de la meva mà quan faig això
han oscil·lat moltes vegades
en el que dura una fracció de segon. De manera que la següent
propietat del so és precisament aquesta duració.
Encara que ens sembli una obvietat convé anar entenent
aquests paràmetres perquè la manera d'entendre
la complexitat del so és descomposant-la
en aquestes unitats. Ja hem vist que tenim
una amplitud de l’oscil·lació
i que, perquè el so s’esdevingui, convé que aquesta ona es produeixi
al llarg del temps.
La següent dimensió de les ones seria la freqüència.
És a dir, aquestes oscil·lacions, que tenen lloc al llarg del temps,
poden passar a una velocitat o a una altra.
És a dir, quan parlem de freqüència, ens referim a cada quant temps
aquesta oscil·lació s’ha produït.
És rellevant en aquest sentit que la freqüència
–que s'entén com un fenomen temporal. És un fenomen
en la seva naturalesa temporal. Les coses es mouen
tantes vegades per unitat de temps–
ens produeix la sensació o la impressió de to.
Fixem-nos que els llindars auditius dels éssers humans,
aquelles oscil·lacions que esdevenen so per nosaltres,
són aquelles que tenen lloc entre 20 oscil·lacions per segon,
que seria l’oscil·lació més lenta, fins a unes, idealment,
20.000 oscil·lacions per segon.
Evidentment, això varia de persona a persona
i segons l’edat que tinguem,
però perquè ens fem una idea: els sons més greus
que estem acostumats a escoltar, per exemple, en música, els subgreus,
estarien entre 20 i 50 oscil·lacions per segon.
Per sota de 20 oscil·lacions per segon no percebríem
aquestes vibracions com a so. Seria ja directament tacte
o el tipus de vibracions que tenim amb un terratrèmol.
A escala humana, fer qualsevol activitat
20 vegades en un segon és una velocitat ràpida.
Aquesta seria l’oscil·lació més lenta que començarem a percebre com a so.
Aquestes oscil·lacions poden tenir diferents velocitats
i vora les 14.000, 15.000, 16.000, 17.000
oscil·lacions per segon seria més o menys on tots tenim
el llindar de les freqüències més agudes
que podem sentir com a éssers humans.
Aleshores, important destacar que aquest fenomen temporal
d’unes molècules que s’estan sacsejant,
quan entren dins d’aquests llindars, no les percebem
com a pulsos separats, sinó que n’obtenim
la percepció de to.
És a dir, ara mateix si jo faig els sons de la meva veu,
si faig qualsevol so prolongat vocàlic:
tot i que això ho sentim com un fenomen continuat,
de fet són unes sacsejades consecutives repetides en l’aire.
És a dir, que un fenomen a l’ona que és temporal
no el percebem com a temporal, sinó que n’extraiem
la percepció del to.
Per tant, a oscil·lacions més lentes, percepció de to més greu;
a oscil·lacions més ràpides, percepció de to més agut.
El terme “greu” o “agut” o “baix” i “alt”
de fet és una convenció, però una vegada més ens movem
en un eix polar. És a dir, lent/ràpid,
que es tradueix en “greu” i “agut”.
Fins aquí tenim les tres primeres dimensions
relativament fàcils d’entendre i la relació que hi ha
entre el fenomen ondulatori i la percepció auditiva que extraiem.
El quart atribut d’una ona o d’una percepció auditiva
seria el timbre.
I aquí és on la qüestió es posa interessant i més complexa.
La majoria de diccionaris i definicions sobre el timbre
es refereixen a aquesta quarta propietat d’un so
que ens permet identificar-ne l’origen.
És a dir, que ens permet distingir dos sons que siguin iguals
en freqüència, amb el mateix to, però que ho puguem discernir
si està sent originat per la corda d’un violoncel
o el vent d’una flauta o d’un clarinet, per exemple.
És a dir, aquella informació que es codifica a les ones
i que ens permet identificar la materialitat,
la forma, molt sovint, i la manera en què aquesta vibració es produeix,
és a dir, el medi d’excitació,
si parlem d'una corda fregada o d'una corda pinçada.
Aquesta dimensió de la tímbrica ens permet reconèixer les veus,
distingir les veus de les persones que coneixem
o sentir una veu i saber que és algú que no coneixíem prèviament.
És a dir, distingir la identitat, la particularitat de cada so.
Bé, aquesta percepció de la tímbrica
a quina de les dimensions de l’ona equival?
És a dir, en quin punt d’una ona es pot codificar
tota aquesta informació?
Això ho anirem veient més endavant, perquè d’alguna manera podem intuir
i podem anunciar que, efectivament, si podem distingir
la materialitat d’un so, podem entendre…
Imagineu que no veiéssim aquest objecte, però entendríem
que és un objecte rígid, dur.
Probablement encertaríem que és de metall.
Podríem pensar que és ceràmica, però no ho confondríem
amb el so d’una fusta.
Resulta que aquesta percepció de la tímbrica es deriva precisament
del comportament del material, la forma, i com l’hem activat.
Això ho veurem més endavant a través del que les matemàtiques
de Fourier expliquen, la transformada de Fourier,
però el nostre objectiu en aquest capítol
és que prescindint dels càlculs matemàtics
que permeten codificar i descodificar aquestes informacions a les ones
hi tinguem un accés directe i puguem manipular i adonar-nos
de com podem intervenir en aquests diversos paràmetres:
la intensitat, la duració, la freqüència o la percepció
que tinguem del to i la tímbrica, que particularment
ens obrirà el territori a tots els materials,
totes les formes, totes les maneres d’activar
aquestes oscil·lacions possibles.
Per continuar comprenent aquesta naturalesa de les ones,
aquestes ones de pressió que recorren medis elàstics
i que acaben esdevenint so,
convé entendre
que les ones també tenen les seves pròpies regions
i com recorren els objectes.
Podem entendre, per aquesta naturalesa d’ondulació,
que una ona desplaça matèria, molècules i aire.
Aquest moviment el podríem visualitzar
d’alguna manera.
En general, el so no es pot veure perquè sol ser un fenomen que té lloc
a l’aire o en objectes sòlids,
però, efectivament, el podem visualitzar.
I ens convé, a més, visualitzar aquestes dues possibles
regions d’una ona. És a dir, quan una ona es transmet
per un medi, els llocs on està oscil·lant,
els llocs per on s’està desplaçant,
de les molècules d’aquestes regions en diem antinodes.
I en diem així perquè hi ha altres regions de l’ona
on l’amplitud és zero.
Això, que pot semblar paradoxal o difícil de comprendre,
quan ho visualitzem tindrà tot el sentit del món.
Vegem, per exemple, aquesta làmina.
Segons per on la sostinguem,
la vibració amb prou feines pot sostenir-se.
Evidentment, es comença a propagar, però el so s’atura ràpidament.
En canvi, agafant la làmina per un altre punt,
veiem com el so
pot continuar.
He sabut trobar un d’aquests punts on l’ona no té amplitud
i, per tant, aquí podem sostenir aquest cos.
Si poséssim pols,
o sèmola o algun tipus de partícula fina aquí damunt,
veuríem com, efectivament,
a la part en què aquest material està oscil·lant, fruit d’aquesta ona,
la pròpia vibració expulsaria la pols i la deixaria
en aquestes regions nodals. Els nodes són aquests punts
on una ona no té amplitud.
Això ho visualitzarem més fàcilment amb una membrana.
A aquesta membrana elàstica de cautxú
tensada sobre una petita caixa de ressonància
li hem posat una mica de sèmola distribuïda
de manera completament aleatòria i la faré vibrar amb la meva veu.
Aleshores, podrem visualitzar que hi ha unes regions de la membrana
que vibren per efecte del so que jo li induiré amb la meva veu
i a les regions on vibri veurem com la sèmola és apartada
i veurem com quedarà acumulada en unes regions determinades.
Aquestes regions són els nodes, són aquests punts fixos.
Hem vist com les partícules estaven ballant
i han quedat unes regions buides.
Com més greu sigui el to, més grans seran aquestes longituds.
Les ones tenen una longitud, ho anirem veient,
limitada per aquestes regions nodals. Provem un altre to més agut
i veurem com el patró canviarà. Cadascuna de les longituds d’ona
es reparteix, rebota en aquest medi concret,
que és la membrana elàstica, i veurem com el patró és diferent.
Tindrem regions nodals
i antinodals en uns altres llocs.
Veníem d’aquest
i anem a un altre.
Veiem que cada freqüència que li induíssim
generaria unes longituds diferents –longituds d’ona–
compreses entre nodes i regions antinodals
que estan oscil·lant i, per tant, desplacen la matèria.
Això ho podríem visualitzar també sobre una làmina.
No sempre podem visualitzar-ho en tots els medis que vulguem.
També hi ha propostes de cimàtica on podem veure que dins d’un tub,
en què a través d’un altaveu es fa vibrar la columna d’aire,
si hi ha molècules
de porexpan o d’algun tipus d’element volàtil,
veuríem com es desplacen aquestes molècules.
És a dir, que encara que no sempre ho vegem,
tota ona té unes regions on hi ha una gran amplitud d’oscil·lació
i altres regions on no hi ha amplitud d’oscil·lació.
I això és molt important tant per l’acústica de l’espai
com per l’acústica dels objectes.
Per continuar entenent aquestes relacions
entre les regions nodals i antinodals i com es propaguen les ones
en els medis elàstics,
observarem també que en funció de les propietats del medi
i de l’ona que li excitem,
les ones es poden propagar de forma progressiva o estacionària.
Una ona progressiva és aquella
que es propaga per un medi
i va quedant absorbida
fins a desaparèixer progressivament. Si jo genero un pols transversal,
veiem com a poc a poc l’energia es va perdent
i arribaríem a tenir la molla un altre cop quieta al cap de poc.
Això pot passar quan una ona rebota en un medi,
ja sigui una ona a l’aire, a l’espai, o dins d’un sòlid, per exemple.
D’altra banda, en determinades condicions específiques hi ha ones
que en diem estacionàries –això es relaciona
amb el fenomen de la ressonància–.
Si us hi fixeu, veureu com l’ona progressiva
avança en una direcció determinada,
ja sigui longitudinal
o una ona transversal.
Li dono un pols així i avança d’una banda a l’altra.
Com dèiem, en unes condicions específiques,
que veurem més endavant, les ones poden
crear aquesta il·lusió d’estaticitat.
Tot i que jo estic enviant un senyal d’una banda a l’altra de l’ona,
si ens hi fixem,
just al centre d’aquest medi
s’ha generat un node, un punt fix.
I les dues meitats estan osil·lant, generant dos antinodes,
dos ventres on veiem que hi ha molta amplitud de vibració.
En aquest cas –ja ho veurem més endavant
i hi insistirem–, parlaríem d’una ona estacionària.
Tot i que estic transmetent informació d’una banda a l’altra,
veiem aquest moviment en què sembla que l’ona
s’hagi quedat estàtica. No veiem com envio energia
d’una banda a l’altra, sinó que veiem
aquesta oscil·lació transversal.
En aquests casos parlem d’ones estacionàries.
És vital per entendre les ressonàncies
i com operen els sons en qualsevol dels medis quotidians
o artístics que vulguem observar veure la diferència i saber distingir
en cada cas si una ona té un comportament progressiu
i es dissipa o estacionari, de manera que s’acumula energia,
més amplitud, i clarament apareixen
aquestes regions nodals i antinodals.
Per acabar, insistint en el que dèiem
–teníem propagacions longitudinals i transversals–,
també aprofitem per veure com podem tenir en aquest cas
una oscil·lació torsional o helicoidal.
És a dir, cada mitjà també pot tenir diferents orientacions,
diferents direccions,
tant en els modes de propagació
progressius com estacionaris.
Vegem ara el fenomen de la ressonància.
A què ens referim quan parlem de la ressonància?
Bé, el fet és que qualsevol medi,
en funció de les seves propietats estructurals,
de la seva elasticitat, dels límits que tingui,
de la forma que tingui,
té una tendència natural a oscil·lar d’una manera concreta,
amb unes direccions i unes freqüències concretes.
Aquesta molla, que tota l’estona ens serveix com a metàfora
per qualsevol medi –sòlid, líquid o gasós–,
té la seva pròpia elasticitat, la seva pròpia tensió,
les seves tendències i les seves pròpies freqüències
naturals de ressonància.
Com que és elàstic, li podem imposar una freqüència,
li podem donar un pols i hi ha una ona que es propaga.
I segons la velocitat a la que jo em mogui,
tindrem uns moviments més o menys caòtics o ordenats.
Altrament, fixem-nos que si jo sóc capaç
de trobar aquesta freqüència natural,
si anem més ràpid, tenim un mode caòtic.
Una mica més lent.
De fet, costa molt mantenir una oscil·lació forçada,
que no sigui natural. Ara, quan trobem
la freqüència natural d’oscil·lació, amb molt poc esforç que faci aquí
acumulem molta energia. Un cop jo paro el moviment,
l’ona segueix.
Ho tornem a fer
per entendre el concepte i veurem més exemples
per entendre el fenomen de la ressonància.
Aquesta molla té uns modes naturals de vibrar
segons la seva elasticitat.
Si jo li imposo una freqüència que no és la seva pròpia,
el moviment és més o menys caòtic.
Ara bé, si jo sóc capaç de sincronitzar
el pols que li estic introduint
amb un dels seus modes naturals, veiem com es forma
aquesta ona estacionària amb uns antinodes,
unes regions determinades, uns nodes als extrems
i un node central i s’acumula energia.
És a dir, la ressonància seria la relació que hi ha
entre la tendència natural, la freqüència natural d’aquest medi
i el pols que jo li estic generant.
He entrat en ressonància amb la molla o he fet entrar la molla
en ressonància. Si ara pujo una mica la velocitat,
veiem que el moviment és caòtic.
En canvi, just en aquesta freqüència, una de les freqüències naturals,
estic ressonant amb la molla o estic fent entrar
la molla en ressonància. És aquesta la relació que hi ha
entre una ona estacionària i la ressonància.
És a dir, les ones estacionàries només tenen lloc
en els modes naturals de ressonància.
O, vist al revés, quan parlem de ressonància
és perquè sempre hi ha alguna ona estacionària involucrada.
Hi ha una relació entre les propietats naturals,
les tendències naturals del medi i una altra font
que estimula aquest medi. Si estan sincronitzades,
parlem de ressonància. Vegem més exemples.
Vèiem com la ressonància és aquest fenomen
pel qual excitem els modes naturals d’un medi
i fruit d’això generen ones estacionàries.
Una bona manera de comprendre aquesta interacció
entre un impuls extern, que se sincronitza
amb les freqüències naturals d’un sistema o un medi,
seria un gronxador.
Com que no hem pogut instal·lar un gronxador aquí,
ens imaginarem que el pèndol és un gronxador.
La forma d’acumular energia en una ona estacionària
és la mateixa per la qual podem empènyer un gronxador
i que cada vegada
l’infant o el sac de patates que posem al gronxador
oscil·laran amb major amplitud. És a dir, el pèndol,
el nostre petit gronxador,
té una freqüència d’oscil·lació determinada.
En aquest cas,
amb independència de l’amplitud.
Podem entendre que en els punts en què hi ha el canvi de direcció,
el moment en què arriba a aquest límit
abans d'anar cap a l’altra banda,
en aquest moment en què tenim una energia cinètica zero
i tot és energia potencial és el moment correcte
de donar-li l'impuls.
Tenim l’experiència d’haver empès un gronxador
i sabem què pot passar si ho fem.
Ens quedem a la posició inicial. El gronxador ens cau al damunt.
Aleshores, la qüestió és –i aquí és on podem observar
la ressonància– com que té la seva pròpia freqüència
natural de pas,
hi ha un moment en el temps en el qual podem donar-li
un petit impuls, que és aquest moment
en què el gronxador està quiet.
Sent així que, si sempre donem un petit impuls,
però sincronitzats amb la freqüència de pas del gronxador,
el gronxador cada vegada acumularà més energia.
Quan hàgim obtingut una amplitud gran d’oscil·lació
–sempre donem el mateix petit impuls–,
cada vegada l’amplitud serà més gran,
arribarà un punt en què hem acumulat energia en el sistema.
És a dir, aparentment, quan tenim un fenomen de ressonància
i s’estableix una ona estacionària,
sembla que estiguem gerenant un munt d’energia.
No, simplement l’estem acumulant en el sistema
fruit de la sincronització entre la tendència natural
del sistema i l'impuls extern que li donem.
Això ho veurem en els espais, però també en els sòlids.
D’entrada, aquestes làmines les hem suspès amb velcro
en els seus punts nodals,
de manera que les regions antinodals puguin viatjar.
Sent així que tindrem una ona progressiva,
però molt llarga, tan llarga com sigui possible.
Ara bé, aquesta làmina, que és més curta,
té una altra freqüència.
Tenen dues freqüències naturals diferents.
Aquest tub,
amb un aturador, amb una tapa d’èmbol, ens permet
reafinar i modificar la freqüència natural de ressonància
d’aquesta columna d’aire.
Quan aquesta columna d’aire estigui afinada
amb la mateixa freqüència que la làmina, veurem com…
Vegem què passa quan posem la columna d’aire afinada
en contacte amb l’ona.
És a dir, aquest tub està actuant com a ressonador
i sembla que tinguem més amplitud de so.
Si el tub
funciona per aquesta longitud d’ona, no funcionarà
per aquesta altra longitud.
No hi ha cap canvi perceptible, però
aquí es nota el canvi i viceversa.
Si el tub entra en ressonància amb aquesta longitud d’ona,
no ho farà amb l’altra.
Podem notar això.
I, en canvi, amb l’altra
no fa res.
Si no tenim la capacitat de reconeixement de tons
per identificar
el to que volem, igualment podríem
anar movent
l’èmbol fins a detectar aquest moment
en què ressona.
Això seria més fàcil fer-ho entre dues persones,
una excitant aquest medi i l'altra ajustant la longitud de l'èmbol
perquè ressoni.
Sembla que estiguem creant energia del no-res,
però no és això. Estem sincronitzant la freqüència
d’aquest medi amb la d’aquest.
És el mateix que passa amb la molla, com hem vist abans
i amb els gronxadors. Una ona estacionària
acumula un màxim d’energia fruit d’aquesta sincronització
entre la informació que li imposem
i la seva tendència natural.
Així doncs, la ressonància permet acumular moltíssima energia.
En els textos d’aquest capítol, veiem com s'han destruït
estructures arquitectòniques perquè han entrat en ressonància,
han anat acumulant energia, molta més de la que la seva pròpia
resistència estructural els permetia. I per això fins i tot
podem veure com alguns ponts o una copa es poden trencar
fruit del so o fruit d’una oscil·lació periòdica.
Ara veurem a continuació com en determinats espais
aquestes ones de ressonància es poden propagar,
tant siguin progressives com estacionàries.
Hem canviat un moment d’espai. Hem vingut al lavabo
per veure com es propaguen les ones en un altre medi.
És a dir, per una banda, els materials de la paret
són reflectors –tot el que és ceràmic
i materials durs reflecteixen les ones–
i això ja està gerenant que la meva veu soni diferent.
A més, de fet, fixeu-vos que si fem un soroll que no sigui tonal,
apareixen algunes freqüències
que sí que tenen alguna qüestió tonal.
La meva veu agafa una coloració diferent,
hi ha sobretons de la meva veu que estan canviant,
estan interactuant d’una forma molt específica
en aquest espai, però a més volia dur-vos aquí,
perquè això és un espai reduït –puc tocar les dues parets
alhora amb els braços–
i això implica que hi ha una freqüència natural de ressonància
que puc activar amb la meva veu,
o bé tirant sons de diverses freqüències
o fent una mena d’escombrat de freqüències.
La que ressona en aquest espai és una de les més greus
que puc fer amb la meva veu.
Al voltant dels 78 hertzos, que és un to que a mi em costa cantar
–no puc cantar més fort de 78 hertzos–,
però en aquest espai si canto aquest to,
s’acumula molta més energia.
La pressió d’aquest so és superior. Espero que veient el vídeo
us doni aquesta sensació i per contrast ho veieu millor.
Cantaré el to que entra en ressonància
amb aquest espai i un altre i jo intentaré
mantenir sempre la mateixa intensitat i el to que ressona,
que és el més greu, hauria de tenir una pressió superior.
De manera que el que ressona,
fins i tot el més greu, el que em costa més cantar,
encara té més amplitud que els altres.
De la mateixa manera, qualsevol de les diverses freqüències
de la meva veu que coincideixi amb alguns dels eixos
–aquesta longitud, la d'entre les altres parets,
la longitud entre el sostre i el terra
o fins i tot algun angle oblic– podria ser que estigués generant
aquestes ressonàncies i per això la meva veu
té una coloració aquí.
No només estem parlant d’aquest petit so,
aquesta petita reverb molt curta, sinó que a més
hi ha una coloració.
Fixeu-vos que tenim unes freqüències més agudes que també són prominents.
Per tant, tenim la fonamental i els sobretons.
Ara veurem què són totes aquestes diverses freqüències
que es propaguen pels medis.
Bé, doncs, hem vist com podem excitar
la freqüència de ressonància d’un espai,
ja sigui una columna petita d’aire, un espai arquitectònic, una dutxa,
el forat de l’escala, un passadís... És a dir, les ones rebotant
es poden acumular i formar aquestes ones estacionàries,
però a banda d'aquest fenomen d’acoblament d’una freqüència externa
a la tendència natural d’un espai,
evidentment les ones es propaguen per qualsevol medi,
ja sigui sota l’aigua, –per això sentim els cants
de les balenes a kilòmetres– o ja sigui per l’aire,
malgrat que l’aire no sigui potser el material idoni
per la transmissió de les vibracions, però és on vivim.
Doncs, bé, en aquest context, ara mateix, en aquesta sala,
les molècules d’aire són sacsejades per la meva veu.
L’esteu sentint perquè tenim un micròfon aquí,
de manera que us arribi la veu el més directe possible,
però, efectivament, si escoltem la sala,
veiem com la meva veu rebota contra les parets.
Hi ha materials més o menys absorbents,
més o menys reflectors, hi ha una geometria en concret,
però és evident que jo emeto una ona a la sala
i aquesta es queda rebotant.
En aquest cas, parlem de reverberació.
Fixem-nos-hi.
Reverb!
Reverberació!
Quan acabo la “o”,
durant una estona el so es prolonga lleugerament,
hi ha una cua. En aquest cas parlem
de reverberació i no d’eco, perquè el rebot de les ones
contra les parets es produeix simultàniament
a quan jo estic sonant i d’alguna manera se suma
prolongant aquest so. No hi ha una distància prou gran
com perquè l’ona reboti i ens arribi molt després.
Quan el rebot ens arriba junt amb el senyal inicial,
parlem de reverberació.
Altrament, quan les distàncies són prou grans...
–crec que a partir d’uns 14 metres Al text us ho explico específicament–
Quan ens trobem amb un obstacle a partir de 14 metres,
en perpendicular, a l’aire, –en un altre material amb una altra
velocitat de propagació seria una altra distància i velocitat–
donada l’elasticitat genèrica de l’aire,
quan tenim una paret a 14 metres i enviem un senyal,
aquestes ones triguen prou temps en arribar a la paret i rebotar,
de manera que quan l’ona retorna, la sentim com un esdeveniment
independent de l'inicial.
Llavors ja no parlem de reverberació,
en la qual el so adquireix aquesta cua,
perquè les ones se segueixen dissipant en ones progressives,
sinó que sentim un so inicial, l'ona que rebota contra l’obstacle
i retorna a posterior. Llavors, podem tenir un sol eco
o en funció de quantes superfícies tinguem
o entre quantes superfícies estiguem, podem tenir diversos ecos.
I això, evidentment, dependrà de les condicions d’humitat,
en gran part, de temperatura, però sobretot
de la disposició geomètrica i que els materials
contra els que piquin siguin suficientment reflectors.
Ens podríem trobar amb determinats indrets
entre diverses parets, entre diverses muntanyes,
on, efectivament, un sol impuls generi diversos rebots
i, per això, ens arribin diversos ecos.
De manera que la naturalesa de la reverberació i la de l’eco
inicialment és la mateixa, que és rebotant en un medi,
però la nostra percepció canvia en funció de l’espai que hi ha
entre el senyal inicial i el senyal rebotat.
Les ones sonores tenen la seva pròpia morfologia,
la seva pròpia forma.
Més enllà del que estàvem constatant
quan es propaguen a través dels medis,
regions nodals i antinodals,
efectivament, quan una ona es propaga per un medi i l’escoltem,
pot tenir diverses fases.
És a dir, el comportament al llarg del temps pot variar.
Quan el so apareix per primera vegada,
quan comença a propagar-se el so, parlem de la fase d’atac.
Alguns sons tenen un atac lleu, gradual, amb una fosa,
des del silenci fins al so, amb un fade in,
i en aquest cas parlem d’un so que no té atac.
Si començo a fer això,
el so ha nascut i ha anat creixent gradualment,
però molts altres sons tenen una fase inicial
que anomenem “atac”,
que sol contenir més freqüències que la següent fase del so
i que és la de sosteniment al cos.
És a dir, quan aquesta ona continua.
I, finalment, tenim la fase de decaïment,
que ja és quan la ona està minvant i desapareix.
Veiem, per exemple, que aquest tub d’alumini
té un atac determinat, pronunciat,
un temps determinat de cos i un decaïment.
Decau.
Veurem sobreimpressionada aquesta ona i podrem visualitzar l’atac.
Fixeu-vos que si bloquejo el tub,
l’atac es correspon a això.
Hi ha més freqüències de la que es queda ressonant
durant la fase del sosteniment.
I, efectivament, a la fase de sosteniment
el cos del so va decaient fins a desaparèixer.
De manera que d’entrada, a nivell temporal,
podem parlar d’aquestes tres fases.
Parlant de morfologia de l’ona,
i aquí recuperem la qüestió de la tímbrica,
les diverses dimensions de l’ona i la percepció que en tenim,
no només és una qüestió temporal: com comença,
quin cos té al llarg del temps i com se’n va,
sinó que, a més a més, quan parlem de morfologia del so,
també podem entendre en el seu eix tímbric
el fet que els sons estan compostos
de múltiples freqüències simultànies.
Aquí és on podem començar a entendre el fenomen de la tímbrica.
Pel que hem vist, podríem pensar que les ones
són una única ona que es propaga per un medi,
però el fet és que aquesta idea
gairebé icònica de la representació de l’ona
com una funció matemàtica sinusoidal
a la naturalesa amb prou feines té lloc,
sinó que la majoria de fenòmens acústics
que escoltem tenen una naturalesa molt més complexa,
perquè els objectes que posem en vibració,
fins i tot les nostres cordes vocals,
generen un munt de freqüències simultànies.
És la suma d'aquestes capes, d'aquestes freqüències
amb longituds d’ona diferents el que acaba donant-nos la informació
de la tímbrica.
És a dir, precisament fruit de l'elasticitat específica,
de les dimensions i de la manera d’activar
aquest material, es genera una pluralitat d’ones en aquest cos,
no només l’ona fonamental, la que percebem com a to,
la longitud d’ona més greu, sinó que a més les ones
se subdivideixen en ones més petites.
És la suma de totes aquestes ones més petites
el que de forma inconscient processem i obtenim informació
de la naturalesa d’aquest objecte. La tímbrica, la informació tímbrica,
que fa referència a matèria, forma i activació
–forma d’activació–, tot això està codificat
en aquesta complexitat d’ones simultànies.
Farem servir una aplicació per visualitzar,
fent unes captures de pantalla, la naturalesa complexa
de la meva veu.
És a dir, si mantenim un mateix to
i canviem el so de la vocal, per exemple passem per “aeiou”,
malgrat que estigui mantenint la mateixa nota,
i vosaltres percebeu que sempre canto la mateixa nota,
ens adonarem, quan vegem la captura de pantalla,
que la freqüència fonamental, la més greu,
es mantindrà igual, però veurem tota una sèrie de línies
a l’espectre més agut que aniran canviant
la seva distribució energètica. És a dir, la meva veu,
quan faig això,
sempre veurem que genera una sèrie d’ones
més curtes superiors, però en funció de la vocal,
en funció de com organitzo la caixa de ressonància de la meva veu,
algunes freqüències esdevenen més prominents
i d’altres baixen amb intensitat. Vegem-ho.
Faré cinc sons vocàlics mantenint el mateix to.
Vegem.
Bé, vegem la captura de pantalla sobreimpressa.
Bé, d’entrada fixem-nos que les cinc vocals
tenen una freqüència de 136 hertzos, aquesta línia més o menys recta,
que és la percepció del to que teníeu.
És a dir, quan jo faig això,
és igual quina vocal faci, vosaltres percebeu el to de 136.
Ara, fixeu-vos que, a mesura que canvio
l’obertura de la vocal: a, e, i, o, u,
hi ha regions de l’espectre que de cop guanyen prominència.
A la “e”, que seria el segon so començant per baix,
veiem que hi ha més energia a la tercera i a la quarta línia.
Després perd energia prop dels 1000 hertzos
i més tard recupera encara més energia en amunt.
Al tercer so, “i,” veiem que hi ha un forat.
Hem perdut energia a la regió dels mitjos
i, en canvi, mantenim energia a les freqüències més agudes,
als sobretons més aguts. Aquesta és la diferència
entre “e” i “i”. Aquesta sensació que la “i”
és un so més brillant és perquè tenim més energia
en aquesta banda de freqüències.
A la “o”, a la quarta gràfica,
veiem que hem perdut energia a dalt
i té una certa similitud amb la “a”.
Però fixem-nos que de “a” a “o”, malgrat que tenim energia sempre
en totes aquestes freqüències, la distribució de més o menys energia
en aquestes freqüències la percebem com un so vocàlic
o un altre. I la “u” també s’assembla a la “o”,
però veiem com és un so amb encara menys sobretons aguts.
Bé, el que estem veient aquí és una freqüència fonamental
i la resta de freqüències superiors són els sobretons.
Si en lloc de fer vocals, faig altres tipus de sons consonàntics,
sons on no estic fent vibrar les cordes vocals,
veurem com la representació espectral d’aquest fenomen
no té res a veure amb aquestes línies tan unívoques.
Quan veiem una línia d’aquesta naturalesa,
estem segurs que la percepció que tenim és la d’un to
o una freqüència que podem cantar. Ens aporta informació tonal.
En canvi, si en lloc d'això, faig:
Fixem-nos com per tots aquests sons consonàntics
han aparegut bandes de freqüència, unes taques,
que ocupen moltes freqüències simultàniament, no una de sola.
Tanmateix, podem identificar perfectament
la naturalesa d’aquest so i ens resulta familiar.
És a dir, aquest so es correspon a la grafia efa.
L’alfabet fonètic internacional té una forma de representar-lo.
I veiem que, en funció de com hem canviat
les regions en les quals l’aire pot passar, pot xocar,
pot fregar, etc. activem unes bandes de freqüències o unes altres.
Ho descrivim d’aquesta manera, és a dir, és fricativa,
és labiodental... Estem parlant de quina manera
estem fent aquesta propagació de so i en quines regions.
La tímbrica, una vegada més, té a veure amb això:
amb quina matèria, quina forma
i quina via d’activació.
Encara que no en siguem conscients, estem generant uns espectres
d’ones complexes que no són tonals. No podríem cantar una cançó
amb el so de la efa,
però sí podem distingir com es distribueix l’energia
entre el so de la essa, de la efa o de la ics.
Doncs bé, tots aquests sons no tònics
els tenim al voltant quotidianament i la música i l’art sonor
també fan ús d’aquests sons no tònics
amb un munt de freqüències superiors i sobretons.
Així doncs, la morfologia, la forma d’aquests sons
més opacs, més brillants,
més tonals, menys tonals,
més dolços… És a dir, el lèxic que utilitzem
per descriure aquesta morfologia ja no està entre la polaritat
de greu o agut, sinó que ens hem d’aproximar
a aquests altres registres semàntics per descriure aquesta complexitat.
Quan un so és més brillant o diem que és més rodó, més dolç
o més aspre, precisament és fruit de totes aquestes interaccions
entre el material que està posat en vibració,
les dimensions, la forma d’aquests materials
i la manera en què ho hem excitat.
Aquest és el territori de la complexitat.
Ens trobem que la tímbrica és un fenomen
que opera per capes amb una fonamental i uns sobretons.
Els sobretons poden estar ordenats de manera que percebem el to o no.
I és aquesta enorme diversitat de combinacions de materials,
formes i activacions diverses les que es codifiquen
com a sensació de timbre.
Això té uns usos a la comunicació verbal,
a la música i a l’art sonor.
Són aquestes les complexitats amb què ens convé familiaritzar-nos
i poder apropiar-nos
de tots aquests registres i comprendre que podem visualitzar
i manipular tots aquests fenòmens d’una forma directa,
més enllà que pugueu escoltar i creure que ho esteu entenent.
Proveu-ho, analitzeu els sons i fixeu-vos en aquestes complexitats.
Un cop més, la molla ens permetrà veure
aquesta relació entre la freqüència fonamental
i els sobretons.
Per tenir eines i conceptes que ens permetin comprendre
aquesta complexitat que estàvem esmentant fins ara,
ens resultarà tranquil·litzador, fins a un cert punt,
saber que les cordes i les columnes d’aire tenen aquest comportament,
que és un comportament harmònic.
La relació entre la freqüència fonamental
i els sobretons superiors
segueix la sèrie harmònica. És a dir, que la freqüència
de la fonamental es multiplica per dos, per tres, per quatre,
per cinc, per sis… en cadascun dels modes d’oscil·lació.
A la molla li podríem donar un impuls amb una freqüència qualsevol.
Si no es correspon amb cap mode natural d'oscil·lació,
tindrà un moviment més o menys caòtic.
Ara bé, com que ella té tendència a vibrar amb els seus modes naturals,
fàcilment podem trobar que aquesta és la freqüència natural
pel primer mode, pel mode fonamental.
Fent molt poc moviment amb la mà, estem aconseguint que oscil·li
amb el seu màxim i trobem un antinode al centre.
Amb això ja estem familiaritzats. Ara bé, aquesta mateixa molla
pot vibrar de moltes altres maneres, en modes d’oscil·lació superiors.
I en aquest cas seran harmònics. És a dir, si tenim aquesta pulsació,
si just la sacsejo el doble,
veurem com accedim al mode segon.
Aquest és un.
Quan trobem la freqüència específica, tindrem el segon mode d’oscil·lació.
Si segueixo pujant la velocitat, esdevé caòtic fins que...
trobem el tercer mode d’oscil·lació.
I ara aquí tenim dos nodes i tres antinodes.
Fixeu-vos que si m’aturo,
si aturo el moviment, la molla ha acumulat aquesta energia
de forma estacionària. Si encara incremento més,
tindríem un quart mode.
Espero que el pugueu veure bé.
Hi ha quatre antinodes i tres nodes centrals.
Potser helicoidalment.
Així ha sigut molt caòtic.
És a dir, cada material i cada forma tenen una freqüència fonamental
i una sèrie de sobretons.
Pel que fa a cordes i columnes d’aire,
ens trobarem davant la sèrie harmònica.
Passem pel primer mode.
Dos.
Tres i, temporalment,
un, dos, tres; un, dos, tres; un, dos, tres.
És exactament tres vegades la freqüència inicial.
La longitud d’ona s’ha dividit per tres
i la freqüència s’ha multiplicat per tres.
En funció de com de ràpid moguéssim la mà,
podríem accedir al mode quatre, al mode cinc, al mode sis, etc.
Anem a escoltar aquest fenomen en una corda.
Vegem com operen aquestes sèries harmòniques.
Hem vist que una molla, com a metàfora de les cordes
i de les columnes d’aire, pot oscil·lar
amb la seva longitud d’ona màxima en el seu mode fonamental
aquí al centre –que és on la corda està més lliure de vibrar,
més lluny dels límits–
és on tindria el mode fonamental d’oscil·lació
amb un antinode aquí, però a més,
havíem vist amb la molla que es pot subdividir a la meitat
amb un node just on abans teníem un antinode.
És a dir, que durant el temps
en què la corda fa aquest moviment, quan passa pel punt de repòs inicial,
aquestes dues meitats estan fent el mateix,
però en dues seccions diferents.
I això passa tot alhora,
perquè el primer mode té una freqüència
i el segon mode en té una altra.
Malgrat que pugui semblar contraintuïtiu,
el mode u, dos, tres, quatre, cinc, tots sonen simultàniament.
A la corda està vibrant aquest punt amb la freqüència més lenta,
però a més aquests dos punts
amb el doble de freqüència i després tenim tres punts
que oscil·len tres vegades més ràpid que el primer, etc.
Això no ens ho hem de creure cegament,
sinó que des de Pitàgores, que ho va descobrir a les cordes,
fins avui, que ho podem visualitzar amb els espectròmetres,
ens podem adonar que tant cordes com columnes d’aire
tenen aquest comportament complex amb ones que se subdivideixen
en harmònics superiors que se sumen. I això ens permet reconèixer
que aquí estem davant d’una corda de metall.
Vegem-ho: el so de la corda
està format pel so de la fonamental,
però a més fixeu-vos que si poso el dit just aquí al mig,
estic impedint que la corda oscil·li en aquest mode.
És a dir, estic imposant-li un node i el que fem
és deixar vibrar aquestes dues meitats.
A dos terços,
quan dividim la corda en terços, tenim aquest altre to.
Si dividim la corda en quarts, és a dir, la meitat de la meitat,
tenim una relació d’octaves. És a dir, fonamental,
octava,
la següent octava.
En cinquens.
En sisens.
En setens.
En vuitens.
En novens, etc.
Doncs bé, cadascun d’aquests sons
se sumen i és el que conforma el so de la corda sencera.
És el que li dóna la coloració, la tímbrica concreta.
I, de fet, és recomanable i és un exercici interessant
intentar discernir algun d’aquests harmònics.
És a dir, jo quan sento el so d’aquesta corda,
veig que quan el so està decaient,
aquests dos es queden més estona. Agafem aquest so de referència
i intentem identificar-lo en el so global de la corda.
Recordem-lo.
Jo ho sento.
Us pot semblar estrany, impossible fins i tot
si no hi esteu habituats, però podem descompondre el so.
Aleshores, us convidem a experimentar amb una corda qualsevol,
amb un instrument de corda: una guitarra, un violoncel,
un ukelele o un banjo.
O si no tensar una corda entre dos punts
i fer l’exercici de reconèixer aquest so
en el global.
La sèrie harmònica funciona d’aquesta manera.
Passa el mateix amb les columnes d’aire.
Ja ho havíem vist també amb la meva veu.
El fet que puguem
sumar aquestes informacions i percebre-ho com un únic so
i no com set, vuit o dotze sons diferents
és degut que hem evolucionat com a espècie
els primats i els humans. El nostre sistema auditiu i perceptiu
ha anat evolucionant, perquè aquestes informacions
no esdevinguessin divergents, sinó que això és una informació
que té una cohesió,
que segueix una progressió matemàtica determinada
i d’alguna manera tenim un software que ens permet computar
aquestes dades i quan sentim qualsevol so d’espectre harmònic,
la diferent intensitat de cadascun d’aquests sobretons
ens diu si és una corda de niló, de tripa, de seda
o, per exemple, si és una veu d’una persona o una altra
o si és una flauta, etc.
És a dir, com que la sèrie harmònica sempre té aquests mateixos valors
i el cervell els pot detectar, el que estem valorant
quan obtenim informació tímbrica és la prominència
d’alguns d’aquests valors.
Una corda de niló potser no tindria el mateix so brillant
i això seria perquè potser en una corda de niló
els harmònics més aguts no tenen tanta prominència.
Doncs, bé, la sèrie harmònica té aquestes qualitats tonals
i la podem observar fàcilment en una corda i entrar en contacte
amb un fenomen complex com la percepció de la tímbrica.
Ara bé, excepte les cordes i les columnes d’aire,
què passa amb la resta de formes i configuracions estructurals?
Doncs, les ones també s’hi propaguen, però no s’ordenen
amb aquesta sèrie matemàtica tan clara i tan fàcil de desxifrar
pel nostre cervell.
És a dir, aquí tenim tres exemples: una paella, un tros d’acer i un plat.
Podríem agafar molts altres objectes.
Farem una captura de pantalla per veure què passa. És a dir,
quantes freqüències apareixen.
Aquests exemples són alguns de tants possibles
en els quals es produeix so, però les diverses veus
no segueixen la sèrie harmònica.
Podríem parlar de sèries inharmòniques.
Així com la sèrie harmònica sempre ens produeix aquesta sensació
de tonalitat, perquè totes aquestes múltiples veus acaben convergint
en la sensació d’un to fonamental,
en un altre objecte que no sigui una corda
o una columna d’aire,
hi poden haver múltiples sensacions auditives,
sensacions tonals, sensacions més o menys polifòniques
o sensacions gens tonals.
Comencem per la paella, que, de fet, és una campana.
Sentiu dos tons? Podeu sentir un més greu que fa això?
I un que fa això?
Hi ha com a mínim dos tons que podem distingir,
però, de fet, n’hi ha més, com veiem a la captura de pantalla.
A continuació, un tros de metall qualsevol.
Aquesta planxa, aguantada per un lloc concret,
també ens ofereix dues veus, com a mínim.
Sentim això
i això altre.
Com que aquestes diferents freqüències
no estan ordenades segons la sèrie harmònica,
el nostre cervell percep dos tons i no un.
Per acabar, aquest tercer exemple: un plat de bateria
mig trencat, a més a més.
Hi ha tantes freqüències que no podem parlar ni d'una sèrie,
però podem entendre que n’hi ha moltes.
Podríem escoltar, si ens hi aproximem,
que potser hi ha una fonamental, però tal i com sentíem aquests sons,
no ens produeixen una sensació de to, sinó més aviat de pur timbre.
És a dir, sentim un plat, alguna cosa metàl·lica,
alguna cosa brillant, estrident, explosiva,
però no ens dóna la informació d’un to.
Doncs, bé, en els següents capítols, quan ens endinsem
en la naturalesa i el comportament de les escultures sonores,
dels objectes sonors, instruments, etc.,
tots aquests coneixements ens seran molt útils
per entendre la naturalesa d’aquests objectes
i per projectar les nostres pròpies obres.
També per tot allò que té a veure amb l’escolta de paisatge sonor, etc.
Això és, tot el que puguem comprendre respecte a la naturalesa matèrica
dels fenòmens que ens envolten i dels entorns on el so es propaga
ens permetrà entendre l’obra de molts referents
que us volem presentar,
així com poder tenir les eines mentals i procedimentals
perquè pugueu fer la vostra.
Gràcies per la vostra atenció.