7. Fractals i autosimilitud

7.1. Introducció

Els fractals són formes que tenen una estructura autosimilar en la qual les parts són igual de complexes que la totalitat. Així, la seva estructura es repeteix a diferents escales i en alguns casos arriba a ser pràcticament indistingible. Sempre tenen la mateixa aparença. La totalitat del fractal és igual a les seves parts, que són iguals a la totalitat. Els fractals no tenen una funció concreta i definida que en descrigui la geometria, però sí que hi ha una dimensió fractal ben definida i mesurable. Els detalls matemàtics i les definicions concretes són complexes i no hi entrarem, però veurem com permeabilitzen tot el nostre entorn. En aquest apartat hi haurà moltes referències a les altres, anirem veient com connecten amb moltes altres formes.

1) El floc de neu de Koch. Niels Fabian Helge von Koch va ser un matemàtic suec, que va descriure el 1904 una de les primeres corbes fractals. El floc de neu de Koch és una de les formes més intuïtives de produir fractalitat. Imatge disponible a: http://www.markedbyteachers.com/international-baccalaureate/maths/el-copo-de-nieve-de-koch.html. [Data de consulta: 12.03.2020].
En l’apartat sobre l’«Esfera i la simetria circular» parlàvem del punt com a dimensió zero. Un punt en expansió ens genera una circumferència. Un punt desplaçat genera un deixant que anomenem línia o dimensió u. Una línia desplaçada ens genera una superfície o dimensió 2, i una superfície desplaçada ens genera la tercera dimensió. Doncs bé, els fractals emplenen l’espai en dimensions intermèdies, no senceres. Poden generar formes que estan entre el punt i la línia, o entre la línia i el pla, o entre el pla i el volum.

1) Triangle de Waclaw Sierpinski, una altra forma que construeix fractalitat. Imatge disponible a: http://miescueladeilusion.blogspot.com/2019/04/construccion-del-triangulo-de-waclaw.html. [Data de consulta: 12.03.2020].
2) Conjunt de Mandelbrot. Imatge disponible a: https://es.wikipedia.org/wiki/conjunto_de_mandelbrot. [Data de consulta: 12.03.2020].
Els fractals omplen l’espai, creixen en l’espai, colonitzen l’espai creant figures complexes a partir d’un patró. La idea inicial de la concepció fractal va ser de Lewis Fry Richardson, pioner a aplicar tècniques matemàtiques per a la predicció del temps atmosfèric. Apuntava en un article aparegut pòstumament la qüestió de mesurar una frontera o un litoral irregular, segons es faci a pas de ratolí o a pas de gegant. Però va ser Benoît Mandelbrot qui va introduir la seva concepció matemàtica, difonent i mostrant l’alta freqüència dels fractals en la naturalesa. Des de llavors, han aparegut gran quantitat de llibres i articles sobre el tema.

Aquí, seguint l’esquema proposat en la introducció, anirem navegant a través d’exemples visuals que ens permetin il·lustrar tres grans àmbits d’interrelació en els quals podem trobar fractals: el món físic com a pura interacció de forces, el món biològic subjecte a la selecció natural i el món humà o «culte» subjecte al que podem anomenar «selecció cultural». L’emergència d’unes formes i no d’unes altres té sempre una sèrie de condicionants: físics, biològics i culturals.